CSPのセッションとRESTのセッションを共有する方法があることがわかりました。

UseSession=1に設定してCSPのアプリケーション名(/csp/hoge)でセッションクッキーを共有することで%sessionデータを共有できます。

RESTのアプリケーション定義を/csp/user/apiとして

UseSession=1に設定するとREST APIとCSP間で%sessionの共有ができることがわかりました。
（Parameter UseSession As Integer = 1;をクラス定義に含める）

セッションクッキーパスを/csp/userという風にCSPアプリケーション名に合わせるのがかぎです。

cspクラスとして定義し、OnPageメソッドでJSON形式でデータを返すという方式ならば、%sessionを引き継げます。

これをREST APIと言うのは若干抵抗がありますが、そういっても間違いではないでしょう